几何解析求参数取值范围的方法

一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式

曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆x2a2+y2b2=1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.

例1已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0)

求证:-a2-b2a≤x0≤a2-b2a

分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.

解:设A,B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得:y2-y1x2-x1=-b2a2?x2+x1y2+y1

又∵线段AB的垂直平分线方程为

y-y1+y22=-x2-x1y2-y1(x-x1+x22)

令y=0得x0=x1+x22?a2-b2a2

又∵A,B是椭圆x2a2+y2b2=1上的点

∴-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,x1≠x2以及-a≤x1+x22≤a

∴-a2-b2a≤x0≤a2-b2a

例2如图,已知△OFQ的面积为S,且OF?FQ=1,若12<S<2,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.

分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题.

解:依题意有

∴tanθ=2S

∵12<S<2∴1<tanθ<4

又∵0≤θ≤π

∴π4<θ<p>

例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是()

Aa<0Ba≤2C0≤a≤2D0<2<p>

分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a|求解.

解:设Q(y024,y0)由|PQ|≥a

得y02+(y024-a)2≥a2即y02(y02+16-8a)≥0

∵y02≥0∴(y02+16-8a)≥0即a≤2+y028恒成立

又∵y02≥0

而2+y028最小值为2∴a≤2选(B)

二、利用判别式构造不等式

在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解.

例4设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点,则直线L的斜率取值范围是()

A[-12,12]B[-2,2]C[-1,1]D[-4,4]

分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式△≥0

解:依题意知Q坐标为(-2,0),则直线L的方程为y=k(x+2)

由得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0

∵直线L与抛物线有公共点

∴△≥0即k2≤1解得-1≤k≤1故选(C)

例5直线L:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.

分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程,由于直线与右支交于不同两点,则△>0,同时,还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.

解：由得(k2-2)x2+2kx+2=0

∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则

解得-2<-2<p>

三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式

曲线把坐标平面分成三个区域，若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系：若P在曲线上，则f(x0,y0)=0;若P在曲线内，则f(x0,y0)<0;若P在曲线外，则f(x0,y0)>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。故可用这些关系来构造不等式解题.

例6已知椭圆2x2+y2=a2(a>0)与连结两点A(1,2)、B(2,3)的线段没有公共点，求实数a的取值范围.

分析:结合点A,B及椭圆位置,可得当AB两点同时在椭圆内或同时在椭圆外时符合条件.

解：依题意可知，当A、B同时在椭圆内或椭圆外时满足条件。

当A、B同时在椭圆内，则

解得a>17

当A、B同时在椭圆外，则

解得0<6<p>

综上所述，解得0<6或a>17

例7若抛物线y2=4mx(m≠0)的焦点在圆(x-2m)2+(y-1)2=4的内部，求实数m的取值范围.

分析:由于焦点(m,0)在圆内部,则把(m,0)代入可得.

解：∵抛物线的焦点F(m,0)在圆的内部，

∴(m-2m)2+(0-1)2<4即m2<3

又∵m≠0

∴-3<0或0<3<p>

四、利用三角函数的有界性构造不等式

曲线的参数方程与三角函数有关，因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程，后利用三角函数的有界性构造不等式求解。

例8若椭圆x2+4(y-a)2=4与抛物线x2=2y有公共点,

求实数a的取值范围.

分析:利用椭圆的参数方程及抛物线方程,得到实数a与参数θ的关系,再利用三角函数的有界性确定a的取值情况.

解：设椭圆的参数方程为(θ为参数)

代入x2=2y得

4cos2θ=2(a+sinθ)

∴a=2cos2θ-sinθ=-2(sinθ+14)2+178

又∵-1≤sinθ≤1，∴-1≤a≤178

例9已知圆C：x2+(y-1)2=1上的点P(m,n)，使得不等式m+n+c≥0恒成立，求实数c的取值范围

分析:把圆方程变为参数方程,利用三角函数的有界性,确定m+n的取值情况,再确定c的取值范围.

解：∵点P在圆上，∴m=cosβ,n=1+sinβ(β为参数)

∵m+n=cosβ+1+sinβ=2sin(β+π4)+1

∴m+n最小值为1-2，

∴-(m+n)最大值为2-1

又∵要使得不等式c≥-(m+n)恒成立

∴c≥2-1

五、利用离心率构造不等式

我们知道，椭圆离心率e∈(0,1)，抛物线离心率e=1，双曲线离心率e>1，因而可利用这些特点来构造相关不等式求解.

例10已知双曲线x2-3y2=3的右焦点为F，右准线为L，直线y=kx+3通过以F为焦点,L为相应准线的椭圆中心，求实数k的取值范围.

分析:由于椭圆中心不在原点,故先设椭圆中心,再找出椭圆中各量的关系,再利用椭圆离心率0<1,建立相关不等式关系求解.<p>

解：依题意得F的坐标为(2,0)，L:x=32

设椭圆中心为(m,0)，则m-2=c和m-32=a2c

两式相除得:m-2m-32=c2a2=e2

∵0<1，∴0<1,解得m>2，

又∵当椭圆中心(m,0)在直线y=kx+3上，

∴0=km+3,即m=-3k,

∴-3k>2，解得-32<0<p>

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